In matematica, i concetti di massimo e minimo di una funzione, noti collettivamente come estremi, si riferiscono rispettivamente al valore massimo e al valore minimo che la funzione assume nel suo dominio. Questa condizione è fondamentale per individuare i cosiddetti punti critici o stazionari. È importante sottolineare che questa condizione è valida per tutti i punti interni al dominio di derivabilità, ovvero per i punti interni di questo insieme. Negli estremi dell'insieme, infatti, la derivata potrebbe non esistere, ed è per questo motivo che la condizione si applica agli intervalli aperti. Geometricamente, l'annullamento della derivata in un punto significa che la retta tangente in quel punto è orizzontale.
La Derivata Prima e la Classificazione dei Punti Critici
La derivata prima è uno strumento potente per classificare i punti critici di una funzione. Un punto in cui la derivata prima si annulla è un punto stazionario. Se la funzione ammette la derivata seconda in un punto, possiamo ulteriormente determinare se un punto stazionario è di massimo o minimo relativo. Più precisamente, supponendo che la derivata prima si annulli, se la derivata seconda risulta essere maggiore di 0, allora la concavità sarà rivolta verso l'alto, indicando che il punto è di minimo. Al contrario, se la derivata seconda è minore di zero, la concavità è rivolta verso il basso, e si tratterà di un punto di massimo.
Funzioni in Più Variabili
Nel caso di funzioni in più variabili, il principio è analogo, ma ad annullarsi è il differenziale (e quindi il gradiente) della funzione. Per le funzioni di due o più variabili, la ricerca dei punti di massimo e minimo non si limita all'interno del dominio dove la funzione è derivabile. È necessario cercare i massimi e i minimi anche sulla frontiera, dove in generale la funzione potrebbe non essere differenziabile.
Massimi e minimi per funzioni a due variabili .Punti sella e matrice hessiana
Estremo Superiore e Inferiore
I concetti di estremo superiore e inferiore sono elementi chiave dell'analisi reale, costituendo la base per la comprensione di limiti, successioni, integrali e molto altro. Nonostante possano apparire come semplici "termini tecnici" all'inizio, con la pratica diventano strumenti intuitivi del linguaggio matematico. Si definisce massimo (o minimo) di un insieme ordinato A un elemento M (o m) di A, tale che M ≥ a (o m ≤ a) per ogni a ∈ A, come nel caso di un insieme di numeri reali.
Consideriamo, ad esempio, l'insieme dei numeri 1−x² (essendo x un numero reale variabile): esso ammette come massimo il numero 1. Invece, l'insieme dei numeri 1−1/x², pur ammettendo 1 come estremo superiore, non è dotato di massimo. Questo esempio illustra la distinzione fondamentale tra estremo superiore e massimo: il massimo deve appartenere all'insieme, mentre l'estremo superiore no.
Massimi e Minimi di una Funzione di una Variabile Reale
Quando è data una funzione f (x), reale di variabile reale, definita in un intervallo (a, b), essa può presentare massimi (minimi) relativi e massimi (minimi) assoluti. Precisamente, se per un punto x0 dell’intervallo esiste un intorno contenuto nell’intervallo stesso, nei punti del quale la funzione assume valori minori (maggiori) o tutt’al più uguali al valore assunto in x0, si dice che la funzione assume in x0 un massimo (minimo) relativo, e il valore di tale massimo (minimo) è f (x0). Inoltre, x0 si dice punto di massimo (minimo) o massimante (minimante) per la f (x).
Per massimo (minimo) assoluto della funzione f (x) nell’intervallo (a, b) si intende, quando esista, il massimo (minimo) dell’insieme dei valori assunti dalla funzione in tutti i punti dell’intervallo. Esso coincide con il massimo (minimo) tra i massimi (minimi) relativi.
Massimi e Minimi di una Funzione di Più Variabili Reali
Nel caso delle funzioni di più variabili reali, le definizioni precedenti vengono modificate. Sia f (P)=f(x1, x2, …, xn) la funzione data, reale di n variabili reali, definita in un insieme A. Si dice che essa ammette un massimo (minimo) relativo in un punto P0, appartenente ad A, se esiste un intorno I di P0 tale che nei punti P appartenenti a esso e ad A si abbia f (P) ≤ f (P0) (f (P) ≥ f (P0) ). Il valore f (P0) è il massimo (minimo) relativo e P0 si chiama massimante (minimante) relativo.
Ricordiamo anzitutto il classico teorema di Weierstrass: una funzione continua in un insieme chiuso e limitato di uno spazio euclideo a un numero qualunque di dimensioni ammette sempre almeno un massimo e almeno un minimo. Più generalmente, il teorema vale anche in relazione a un qualunque insieme compatto di uno spazio topologico.
Torniamo ora a considerare funzioni definite in uno spazio euclideo, e fissiamo l’attenzione su una funzione di due sole variabili f (x, y). Se P0(x0, y0) è un punto di massimo (minimo) per la f, allora la f (x0, y) ammette un massimo (minimo) per y=y0 e la f (x, y0) ha un massimo (minimo) per x=x0. Tuttavia, non sempre vale il contrario. Per esempio, la funzione f (x, y) vale 1 nell’origine, è nulla sugli assi x, y e vale 2 fuori degli assi: essa non ha un massimo in O sebbene lo abbiano ciascuna delle funzioni f (x, 0) e f(0, y). Questo evidenzia la complessità della ricerca di massimi e minimi in funzioni multivariabili.
Consideriamo, per ultimo, il caso di una funzione di più variabili reali che ammetta tutte le derivate parziali prime e seconde nell’intorno di un punto P0. In queste ipotesi, se in P0 vi è un massimo (minimo) della f (P), in P0 sono nulle tutte le derivate parziali prime e l’hessiano della f (P), calcolato in P0, risulta essere il determinante di una forma quadratica definita negativa (positiva). In particolare, per le funzioni di una variabile accade che la derivata prima è nulla e quella seconda è negativa (positiva). Per le funzioni di due variabili accade che le due derivate parziali prime sono nulle, l’hessiano è < 0 (> 0) e le due derivate parziali seconde sono entrambe negative (positive).
Cenni Storici sulla Ricerca dei Massimi e Minimi
Il problema della ricerca dei massimi e minimi fu trattato fin dall’epoca greca, seppur limitatamente a questioni di aritmetica (massimo comune divisore, minimo comune multiplo) e di geometria piana. Esempi includono la determinazione delle aree di parallelogrammi inscritti in un triangolo e aventi un lato sopra un lato del triangolo, la distanza di un punto variabile sopra una conica da un punto fisso del piano, o l'area di una figura piana di dato perimetro (il cosiddetto problema degli isoperimetri).
Nel tardo Medioevo e nel Rinascimento (N. d'Oresme, Giordano Nemorario, Regiomontano, B. Cavalieri, E. Torricelli) si affrontano problemi di natura più generale, anche se talvolta più semplici (per esempio: massimo di xy, o di xy², o di xy^n, nel caso che x+y si mantenga costante). In questo periodo si iniziano a delineare vari metodi che più tardi, avendo come geniale precursore P. Fermat, si concretizzano nel metodo differenziale di I. Newton e G.W. Leibniz. Questi metodi furono poi perfezionati e resi rigorosi, principalmente grazie alla critica del XIX secolo (K. Weierstrass, A.-L. Cauchy).
Nei tempi più recenti si sono studiati e si studiano metodi atti a trattare il problema in casi sempre più estesi, rientrando nel più ampio campo del calcolo delle variazioni.
Massimi e minimi per funzioni a due variabili .Punti sella e matrice hessiana
Massimi e Minimi Liberi e Vincolati
Modernamente, quando si parla di ricerca dei massimi e minimi, ci si riferisce per lo più ai massimi e minimi. Quando sia data una funzione w=f (x, y, …), di un qualsivoglia numero di variabili, definita in un insieme A, si distingue anzitutto il caso dei massimi liberi dal caso dei massimi vincolati. Nel primo caso si cercano i massimi, assoluti o relativi, della w, quando le variabili indipendenti x, y, … variano liberamente nell’insieme di definizione. Nel secondo caso si cercano i massimi, assoluti o relativi, della w, quando le variabili x, y, … sono soggette a determinate condizioni o vincoli.
Massimi Liberi per le Funzioni di una Variabile
Per semplicità, consideriamo il caso di una funzione y=f (x), definita nell’intervallo chiuso [a, b] dell’asse x. In base ai teoremi sui massimi, i valori di x nei quali la funzione assume i suoi eventuali massimi relativi o assoluti (valori estremanti) sono da ricercarsi tra le seguenti tre categorie di valori:
a) I valori di x, interni all’intervallo, nei quali si annulla la derivata prima della funzione (p, q e r in una tipica figura rappresentativa: valori estremali).b) Gli estremi a e b dell’intervallo.c) I valori di x interni all’intervallo, per i quali non esiste la derivata prima (ad esempio, un punto di cuspide).
Precisamente: se per un valore ξ della categoria (a) si ha f″ (ξ) > 0, o f″ (ξ) < 0, ξ è un valore rispettivamente minimante o massimante, e quindi f (ξ) è un minimo o un massimo (relativo). Se f′ (ξ)=f″(ξ)=…=f^(n) (ξ)=0 ed f^(n+1) (ξ)≠0, per n dispari la f (ξ) ammette in ξ un minimo o un massimo secondo che f^(n+1) (ξ) < 0, o f^(n+1)(ξ) > 0. Per n pari, invece, la f (ξ) ha in ξ un punto di flesso ordinario. Se in ξ la funzione non ammettesse derivata seconda, esso andrebbe studiato come quelli della terza categoria; analogamente dicasi per le derivate successive.
Se per l’estremo sinistro a dell’intervallo si ha f′ (a) > 0 [o f′ (a) < 0], la funzione presenta ivi un minimo [o un massimo]. Se f′ (a) = 0 e f″ (a) > 0 [o f″ (a) < 0], si ha rispettivamente un minimo [o un massimo]. Si prosegue con questa logica anche per le derivate successive. Similmente, per l’estremo destro b, se si ha f′ (b) < 0 [o f′ (b) > 0], oppure f′ (b)=0 e f″ (b) > 0 [o f″ (b) < 0], oppure: f′ (b)=f″ (b)=0 e f‴ (b) < 0 [o f‴ (b) > 0] ecc., si ha ivi un minimo o rispettivamente un massimo.
Massimi Liberi per le Funzioni di Due o Più Variabili
Limitandoci per semplicità al caso di una funzione w=f (x, y) di due variabili, definita in un dominio limitato A che ha per contorno una linea regolare γ, le coppie di valori (ξ, η) che corrispondono a massimi relativi per la w, cioè, come si dice, i punti estremanti, vanno ricercate tra le seguenti tre categorie di punti:
a) Punti interni ad A nei quali si annullano le due derivate parziali prime fx (x, y) e fy (x, y) della funzione (punti estremali, come un punto P in una figura).b) Punti di γ (punti sul bordo come Q e R).c) Punti interni ad A nei quali non esiste almeno una delle due derivate parziali prime (ad esempio, un punto V).
Un punto (ξ, η) della prima categoria è un punto estremante se in esso è positivo il determinante hessiano della funzione, cioè l’espressione fxxfyy−f²xy (se tali derivate non esistessero o se l’hessiano fosse zero, il punto andrebbe esaminato come quelli della terza categoria). Esso è precisamente un punto massimante o minimante a seconda che fxx (ξ, η) ha valore negativo o positivo. Se invece l’hessiano è negativo, il punto (ξ, η) non è estremante. Per riconoscere la natura dei punti del contorno γ, occorrono considerazioni analoghe a quelle relative ai massimi vincolati che permettano di distinguere su γ alcuni punti tra i quali vanno ricercati gli eventuali punti estremanti.
Massimi Vincolati per le Funzioni di Due Variabili
Consideriamo una funzione w=f (x, y), definita in un dominio A del piano xy, nel cui interno è assegnata una porzione c di curva regolare, di equazione ϕ (x, y)=0. Questa espressione rappresenta appunto il vincolo. Prescindiamo dai punti nei quali le funzioni f e ϕ non sono derivabili parzialmente e dagli estremi dell’arco c, punti che, al solito, occorre considerare a parte. Sia P un punto di c che risulti di massimo (o di minimo) vincolato per la funzione f (x, y). Allora in P la curva c deve risultare tangente a quella curva di livello della funzione f che appunto passa per P. Questa condizione porta a un sistema di equazioni che, risolto, fornisce le coordinate del punto P e un opportuno valore di λ (moltiplicatore di Lagrange). Dunque, gli eventuali punti di massimo e minimo vincolati si trovano risolvendo tale sistema.
Massimi Vincolati per le Funzioni di Più di Due Variabili
Sia w=f (x1, x2,…, xn) la funzione data, e siano ϕ1 (x1, x2,…, xn)=0, ϕ2 (x1, x2,…, xn)=0,…, ϕs (x1, x2,…, xn)=0 gli s vincoli (s < n) ai quali si sottopongono le sue variabili indipendenti. Si cercano i massimi della w sulla varietà C definita dalle equazioni vincolari nell’insieme di definizione A della w. Per trovare questi punti, si utilizza il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, che porta a un sistema di n+s equazioni nelle n+s incognite x1, x2, …, xn; λ1, λ2, …, λs. Le λ1, λ2, …, λs sono appunto i moltiplicatori di Lagrange. La risoluzione di questo sistema consente di individuare i punti critici sotto vincolo.
